Mesure et incertitudes
I - Dispersion des mesures
Aucune grandeur physique mesurée n'est connue avec exactitude, du fait des erreurs liées à la méthode et/ou à l'appareil utilisés; ou des variations naturelles de tout phénomène physique.
Lorsqu'une mesure est répétée, l'erreur commise peut être aléatoire et varier d'une mesure à l'autre. On dit alors que la mesure n'est pas fidèle. L'erreur peut aussi être systématique. Dans ce cas, on dit que la mesure n'est pas juste. Les deux types d'erreur peuvent se cumuler.
La dispersion des mesures peut être représentée graphiquement sous la forme d'un histogramme qui montre les effectifs pour chaque valeur ou intervalle de valeurs. On peut alors utiliser des outils statistiques pour caractériser la dispersion des mesures.
II - Incertitude sur une série de mesures
Une grandeur physique \(x\) dont on fait \(n\) mesures dans des conditions identiques (conditions de répétabilité) a pour valeur estimée la moyenne de ces valeurs :
\[ { x_{estimée}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}=\bar{x} } \] \[ { \bar{x}=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k } \]L'évaluation de l'incertitude-type \(u_x\) associée à la mesure tient compte du caractère groupé ou dispersé des valeurs expérimentales. L'incertitude évaluée de cette manière se calcule ainsi :
\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { u(x)=\dfrac{s_x}{\sqrt{n}} } \]Où \(s_x\) (anciennement noté \(σ_{n-1}\)) est l'écart-type expérimental de la série de valeurs. On l'obtient à la calculatrice ou on le calcule avec la formule suivante :
\[ { s_x =\sqrt{ \dfrac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} (x_k-\bar{x})^2 } } \]Lorsqu'on dispose d'une série d'une dizaine de valeurs, l'incertitude vaut :
\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { U(x) ≃ 2\times u(x) } \]Note. \(U(x)\) est l'incertitude (ou incertitude élargie). Elle est aussi notée \(Δx\).
Remarque. L'intervalle de confiance obtenu avec \(u(x)\) a un taux de confiance de 65% alors qu'avec \(U(x)\) le taux de confiance est de 95%.
Note. On parle indifférement de "taux" ou de "niveau" de confiance.
⇨ Activité d'application : à la calculatrice, avec un tableur, avec un programme en Python... ou le calculateur ci-dessous.
III - Incertitude sur une mesure unique
Dans le cas d'une mesure unique, la valeur estimée est la valeur mesurée.
L'évaluation de l'incertitude dépend du type de mesure effectuée et du type d'appareil :
⇨ Lecture d'une échelle graduée de graduation \(δ\) :
Lecture simple : \(U(x)=\dfrac{δ}{2}\) ou lecture double (alignement du zéro) : \(U(x)=δ\)
⇨ Lecture d'un affichage digital :
La notice de l'appareil numérique indique comment calculer la "précision" ou "tolérance", c'est-à-dire l'incertitude de l'appareil. Cette indication est souvent donnée sous la forme :
\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { Δ = a \text{ % de la valeur lue} + b \text{ digits} } \] \[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { u(x) = \dfrac{Δ}{\sqrt{3}} } \] \[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { U(x) ≃ 2\times u(x) } \]Un digit étant une unité du dernier chiffre affiché par l'appareil.
IV - Incertitude-type composée
Souvent mesurer une grandeur correspond à mesurer les variables dont elle dépend, puis à utiliser une relation mathématique qui les relie.
Si \( { a=b+c } \), alors :
\[ { u^2(a)=u^2(b)+u^2(c) } \]Si \( { a=\dfrac{b\times c^2}{d} } \), alors :
\[ { \left( \dfrac{u(a)}{a} \right)^2 = \left( \dfrac{u(b)}{b} \right)^2 + \left( 2\times \dfrac{u(c)}{c} \right)^2 + \left( \dfrac{u(d)}{d} \right)^2 } \]Si \( { y=m\times x + p } \), alors :
\[ { u(y)=m\times u(x) } \]Remarque. \(u(\text{constante})=0\)
V - Valeur de référence. Validité d’un résultat
Il arrive que l'on dispose d'une valeur de référence \(x_{réf}\), par exemple une valeur théorique attendue, une indication du fabricant, etc. Si \(x_{réf}\) est dans l'intervalle de confiance \( \begin{bmatrix} \bar{x}-U(x) ; \bar{x}+U(x) \end{bmatrix} \), alors la mesure est conforme à cette valeur de référence.
VI - Écriture d’un résultat
A l'issue d'une mesure, on a obtenu une estimation de \(x\), notée \(\bar{x}\).
Cette mesure étant entachée d'erreurs, la valeur de \(x\) n'est pas connue exactement mais avec une certaine incertitude. L'incertitude est un nombre positif, noté \(U(x)\), qui traduit la dispersion des valeurs de \(x\).
⇨ Le résultat de la mesure est présenté sous la forme :
\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { x=\bar{x} \pm U(x) } \]On peut aussi donner l'intervalle de confiance dans lequel la probabilité de trouver \(x\) est très élevée :
\[ { \begin{bmatrix} \bar{x}-U(x) ; \bar{x}+U(x) \end{bmatrix} } \]⇨ L'incertitude ne s'exprime qu'avec un seul chiffre significatif.
⇨ Le dernier chiffre significatif de la valeur mesurée doit être à la même position que le chiffre significatif de l'incertitude.
